متتاليات عددية والبرهان بالتراجع

متتاليات عددية والبرهان بالتراجع

متتاليات عددية والبرهان بالتراجع

:نشاط
: كما يلي R+* دالة عددية لمتغير حقيقي معرفة على f
f ( x ) = 1 / x
( R+*على R *هي اقتصار الدالة التناظرية التي مجموعة تعريفها f )
فردية بين لماذا ؟ fهل
(O , I , J )ثم مثلها بيانيا في مستو مزود بمعلم متعامد ومتجانس f أدرس تغيرات الدالة
: كما يلي Nالمعرفة على ( U n ) nENنعتبر المتتالية
Un+1 = 1 / Un : n ومن أجل كل عدد طبيعي , U 0 = 2
هي الدالة المرفقة بهاf لاحظ أن ،(Un ) مثل بيانيا المتتالية -
( U n ) استنتج اتجاه تغيرالمتتالية
ماذا تستنتج؟ ،(U n ) عين نهاية المتتالية
إجابة
ليست فردية لأن المجموعة التي عرفت فيها ليست متناظرة بالنسبة إلى الصفرf الدالة
fدراسة تغيرات الدالة
Df =R+*
lim f(x) =+inf
>
x-->0
lim f(x)= 0
x-->+inf
:معرفة كما يلي f' ودالتها المشتقة R+* تقبل الإشتقاق في f الدالة
f'(x)=-(1/x2)
f'(x)<0; R+*من xمن أجل كل
R+* متناقصة تماما فيfبالتالي
جدول التغيرات
x 0 + ∞

f '(x) || -
f(x) || + ∞ m 0
التمثيل البياني
http://z008bs.malware-site.www/Image1SX.jpg

اتجاه تغير متتالية عددية
N جزء من I
I متتالية عددية معرفة على (Un)nE I
متتالية ثابتة
: إذا وفقط إذا كانI ثابتة على (Un)nE Iتكون المتتالية
Un = U n'; Iمن n' ,n من أجل كل
جميع حدود المتتالية متساوية
عدد حقيقي ثابتa حيث U n = a , Iمن n من أجل كل
ثابتة Un = sin np بـ N المعرفة على ( U n ) مثلا المتتالية
sin np = 0 , N من n من أجل كل
هي متتالية ثابتةUn = cos 2np بـ N المعرفة على ( U n ) أيضا المتتالية
ليست ثابتة Un = cos np بـ N المعرفة على ( U n ) المتتالية
cos np = (-1)n لأن
(-1)n = 1 زوجي n إذا كان
(-1)n = -1فردي n إذا كان
المتتالية المعرفة هكذا هي متتالية متناوبة
متتالية متزايدة ومتتالية متزايدة تماما
:إذا وفقط إذا تحقق ما يلي I متزايدة على (Un)nEI تكون متتالية
Un+1 - Un> = 0 ;I من nمن أجل كل عدد طبيعي
:إذا وفقط إذا تحقق ما يلي I متزايدة تماما على (Un)nEI تكون متتالية
Un+1 - Un> 0 ;I من nمن أجل كل عدد طبيعي
متتالية متناقصة ومتتالية متناقصة تماما
:إذا وفقط إذا تحقق ما يلي I متناقصة على (Un)nEI تكون متتالية
Un+1 - Un < = 0 ;I من nمن أجل كل عدد طبيعي
:إذا وفقط إذا تحقق ما يلي I متناقصة تماما على (Un)nEI تكون متتالية
Un+1 - Un< 0 ;I من nمن أجل كل عدد طبيعي
مثال
كما يلي N متتالية عددية معرفة على(Un)
Un = 2 n -1: n من أجل كل عدد طبيعي
(Un) لندرس اتجاه تغير المتتالية
: nمن أجل كل عدد طبيعي
U n+1 = 2n+1 - 1
U n+1 =2(2n-1)+1
U n+1 =2U n +1
U n+1 =U n + 2n
U n+1-U n=2 n
2 n > 0 N من n من أجل كل
N متزايدة تماما على(Un) بالتالي المتتالية
متتالية رتيبة
N جزء من I أوI=N
إذا وفقط إذا كانت إما متزايدة وإما متناقصة على هذه المجموعة Iتكون متتالية رتيبة على مجموعة
إذا وفقط إذا كانت إما متزايدة تماما وإما متناقصة تماما على هذه المجموعة Iتكون متتالية رتيبة تماما على مجموعة
مثال

: كما يلي N* المتتالية المعرفة على (Un) nEN*
Un = 1 / n
.N* فهي رتيبة تماما على N* متناقصة تماما على (Un) nEN* المتتالية
: حيث Un بحدها العام N المتتالية المعرفة على (Un) nEN
Un = n2 - 4
Un+1 sad n+1)2 - 4
=n2 +2n-3
= n2 - 4 +2n +1
= Un + 2n + 1
بالتالي
Un+1 -Un =2n+1
2n+1>0 : n من أجل كل عدد طبيعي
N فهي رتيبة تماما على N متزايدة تماما على ( Un) ومنه المتتالية

نشاط
:مجموعة الأعداد الطبيعية كما يلي Nمتتالية عددية معرفة على (Un)
Un =sin (n )+(-1)2n
: nبين أنه من أجل كل عدد طبيعي
0 ≤ Un ≤ 2


إجابة
(-1)2n =1 : nمن أجل كل عدد طبيعي
-1≤ sin (n ) ≤ 1



بإضافة 1 إلى الطرفين نجد
0≤ sin (n ) +1 ≤ 2

:بالتالي
0≤ sin (n ) +(-1 )2n ≤ 2

n ومنه :من أجل كل عدد طبيعي
0≤ Un ≤ 2

أنها محدودة من ألأعلى ومن الأسفل (Un) نقول عن المتتالية
كما نقول عنها إنها محدودة
متتالية محدودة
متتالية محدودة من الأعلى
حيث A أنها محدودة من الأعلى إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي (Un )n ³ n0نقول عن متتالية
من أجل كل عدد طبيعي n أكبر من أو يساوي n0

Un≤ A

A بمعنى أن جميع حدود المتتالية أقل من أو تساوي



مثال
بما يليN* المعرفة على (Un ) n > 0 المتتالية
محدودة من الأعلى بالواحد Un = 1 / n
n لأن من أجل كل عدد طبيعي غيرمعدوم

1 / n ≤ 1
متتالية محدودة من الأسفل
حيث B أنها محدودة من الأسفل إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي (Un) n>=n0 نقول عن متتالية
n > = n0: n من أجل كل عدد طبيعي
Un > = B
B أي جميع حدود المتتالية أكبر من أو تساوي
مثال
المعرفة بـ (U n) n >0 المتتالية
Un = 1 / n
محدودة من الأسفل
n لأن من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم
1/ n > 0
تطبيق
: بـ R + المعرفة على f نعتبر الدالة
f(x) = x2 -2x
Un =f(n) حيث (Un) لتكن المتتالية
f شكل جدول تغيرات الدالة
محدودة من الأسفل (Un) بين أن المتتالية
محدودة من الأعلى؟ (Un) هل المتتالية
إجابة
R+ معرفة على f
lim f(x) =0
>
x---> 0
lim f(x) = +∞
x ---> +∞
(f'(x)=2x-2=2(x-1

f'(x)=0 يكافئ x= 1

ومنه جدول التغيرات

∞ + 1 0 x



+ 0 - ( f '( x

∞ + & 1 - m 0 (f(x

من جدول التغيرات نستنتج أن
f(x) > = -1 : R + من x من أجل كل
f(n) > = -1 : N من n بالتالي من أجل كل
Un > = - 1 أي
محدودة من الأسفل (Un) المتتالية

ليست محدودة من الأعلى (Un) المتتالية
lim Un = lim f(x) = +∞ لأن
n--> + ∞ x---> + ∞
البرهان بالتراجع
نشاط
nومن أجل كل عدد طبيعي U0 = 0 بـ N المتتالية المعرفة على (Un)
Un+1 =2Un + 1
nبدلالة Unواعط تخمينا لعبارة(Un) أحسب الحدود الخمسة الأولى للمتتالية
.اثبت ذلك
:إجابة
(Un)حساب الحدود الخمسة الأولى للمتتالية
U0 =0
U1 = 1
U2 =3
U3 =7
U4 =15
U0=1-1=20-1 :لاحظ أن
U1=2-1=21-1
U2=4-1=22-1
U3=8-1=23-1
U4=16-1=24-1
:التخمين الذي يمكن وضعه ،بناءا على ما سبق ،هو
Un=2n - 1 : n من أجل كل عدد طبيعي
؟Un+1=2n+1 - 1 هل يكون Un=2n - 1 بافتراض أن
Un+1 = 2Un+1
Un+1 = 2(2n-1)+1
Un+1 = 2n+1-2+1
Un+1 = 2n+1-1
فإنها تكون صحيحة nإذا كانت الخاصة السابقة صحيحة من أجل العدد الطبيعي
( Nمن n من أجل العدد الذي يليه (مهما كان
الإستدلال الذي يعتمد على هذه الفكرة يسمى البرها ن بالتراجع
:مبدأ البرهان بالتراجع
n0 عدد طبيع أكبر من أو يساوي n، عدد طبيعي ثابتn0
قد تكون صحيحة أو خاطئة، nخاصة مرتبطة بالعدد الطبيعي p(n)
:نتبع ما يلي n >= nحيث0nمن أجل كل عدد طبيعيp(n)لإثبات صحة الخاصة
p(n0)نثبت صحة
p(n+1)صحيحة ونبرهن صحة p(n)نفترض أن
مثال
حيث R معرفة على x دالة عددية للمتغير الحقيقي f
f(x) =xn
f'(x)=nxn-1و R تقبل اللإشتقاق في f
باستخدام الإستدلال بالتراجع ،nلنثبت صحة ذلك من أجل كل عدد طبيعي غيرمعدوم
n = 1من أجل
f(x) =x
f'(x) = 1 =1x0=1x(1-1)
n = 1 الخاصة قيد الدراسة صحيحة من أجل
n+1ونبرهن صحتها من أجلnنفرض أن الخاصة صحيحة من أجل
f'(x) sadn+1)xn فإن f(x) =xn+لنبرهن،إذن،أنه إذا كان1
f(x)=xn+1 =xn . x
f'(x) = nx n-1 .x +x n
f'(x) =nx n +x n
f'(x) sadn+1)x n
n+1إذن ، الخاصة صحيحة من أجل
f(x) =x nوحسب الإستدلال بالتراجع ، نستنتج أنه إذا كان
f'(x) = n x n-1:nفإنه من أجل كل عدد طبيعي
تطبيق
:كما يلي Nمتتالية عددبة معرفة على (Un)
Un = 1+2+...+n
ما هو التخمين الذي يمكن وضعه؟U3,U2,U1,U0 أحسب
أثبت ذلك باستخدام البرها ن بالتراجع
:إجابة
U3,U2,U1,U0حساب
U0 = 0
U1=1
U2=0+1+2=3
U3= 0+1+2+3=6
:لاحظ أنه يمكن أن نكتب
U0 = (1/2)0(0+1)
U1 = (1/2)1(1+1)
U2 = (1/2)2(2+1)
U3 = (1/2)3(3+1)
بالتالي نستنتج التخمين الآتي
Un sad1/2)n(n+1) :Nمن nمن أجل كل
لنثبت صحة هذا التخمين باستخدام الإستدلال بالتراجع
Un sad1/2)n(n+1) :هيp(n)
(n0=0) n = 0 من أجل
U0 = (1/2)0(0+1)
صحيحةp(0)إذن
p(n+1) صحيحة ونبرهن صحة p(n)نفرض أن
ونبرهن Un sad1/2)n(n+1)أي نفرض
Un+1 sad1/2)(n+1)(n+2)
Un+1= 1+2+3+...+n+n+1 لدينا
Un+1=Un + n+1
Un+1sad1/2)n(n+1)+n+1
Un+1sadn+1)((1/2)n+1)
بعد توحيد المقامات نجد
Un+1sad1/2)(n+1)(n+2)
صحيحة p(n+1)بالتالي
وبناءا على مبدأ البرهان بالتراجع
Un=(1/2)n(n+1);nمن أجل كل عدد طبيعي

--------------------------------------------------------------------------------

تمرين
: كما يلي N متتالية عددية معرفة على (Un)
Un = cos n(pi)
(Un) أحسب الحدود الأربعة الأولى للمتتالية
ما هو التخمين الذي يمكن وضعه؟
nباستخدام البرهان بالتراجع ،أثبت أنه من أجل كل عدد طبيعي
cos n(pi) sad-1)n
:إجابة (Un) حساب الحدود الأربعة الأولى للمتتالية
U0 = cos 0(pi)=cos 0 = 1
U1 = cos 1(pi)=cos pi = -1
U2 = cos 2(pi)=cos 0 = 1
U3 = cos 3(pi)=cos (2pi+pi)=cos pi =-1
U0 =1sad-1) 0 :لاحظ أن
U1 =-1sad-1)1
U2 =1sad-1)2
U3 =-1sad-1)3
.وهو التخمين الذي يمكن وضعه Un sad-1)n وبالتدريج يمكن أن نكتب
Un sad-1)n :nلنثبت أنه من أجل كل عدد طبيعي
Un=U0 sad-1)0 : n = 0 من أجل
n = 0الخاصة صحيحة من أجل
n+1ونبرهن صحتها من أجل nنفرض أن الخاصة صحيحة من أجل
Un+1 =cos(n+1)pi: لدينا
Un+1 =cos(npi+pi)
Un+1 =cos npi .cos pi -sin npi .sin pi
Un+1 =Un.cos pi -0
Un+1 sad-1)n .(-1)
Un+1 sad-1)n+1
n+1 إذن الخاصة صحيحة من أجل
n وكلما كانت صحيحة من أجل n=وبما أن الخاصة صحيحة من أجل0
فهي صحيحة من أجل كل عدد طبيعي n+1 تكون صحيحة من أجل
تمرين
بما يلي N متتالية عددية معرفة على (Un)
Un =23n - 1: n من أجل كل عدد طبيعي
(Un) أحسب الحدود الخمسة الأولى للمتتالية
ثم أكتبها بدلالة العدد 7، ما هو التخمين الذي يمكن وضعه؟
.أثبت ذلك باستخدام البرهان بالتراجع
:إجابة
(Un)حساب الحدود الخمسة الأولى للمتتالية
Un =23n - 1
U0 =20 - 1 =0 نجد n =0 بوضع
U1 =23 - 1 =7 نجد n =1 بوضع
U2 =26 - 1 =63 نجد n =2 بوضع
U3 =29 - 1 =511 نجد n =3 بوضع
U4 =212 - 1 =4095 نجد n =1 بوضع
كتابة الحدود السابقة بدلالة العدد7
U0 =0 =0×7
U1 =7 = 1×7
U2 =63 =9×7
U3 =511=73×7
U4 =4095=585×7
يقبل القسمة على العدد 7 من أجل كل عدد طبيعي Un التخمين الذي يمكن وضعه هو أن
لنثبت ذلك باستخدام البرهان البرهان بالتراجع
يقبل القسمة على 7 Un تكافئ p(n)
U0=0×7 , n = 0من أجل
صحيحة p(0): يقبل القسمة على 7 U0
p(n+1) صحيحة ونبرهن صحة p(n) نفرض أن
يقبل القسمة على 7 Un+1 يقبل القسمة على 7 ونبرهن أن Un بمعنى آخر نفرض أن
Un+1 =23(n+1) - 1
Un+1 =23n×23 - 1
Un+1 =23n×(7+1)-1
Un+1 =7×23n+23n -1
Un+1 =7×23n+Un
عدد طبيعي k :Un =7k يقبل القسمة على 7 معناه Un
Un+1 =7×23n+7k
Un+1 =7×(23n+k)
يقبل القسمة على 7 Un+1 بالتالي
صحيحة p(n+1) ومنه
:و اعتمادا على مبدأ البرهان بالتراجع فإن
.يقبل القسمة على 7 Un: n من أجل كل عدد طبيعي
تمرين
نضع n من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم
Un =n2n-1
n يرهن بالتراجع أنه من أجل كل عدد طبيعي
U1+U2+U3+...+Un=1+(n-1)2n

شكرا اخي الكريم على الموضوع مفيد حقا